Korselt là người đầu tiên quan sát các tính chất cơ bản của số Carmichael, nhưng ông không đưa ra bất kỳ ví dụ nào. Năm 1910, Carmichael [5] tìm ra con số đầu tiên và nhỏ nhất như vậy, 561, giải thích cho cái tên "số Carmichael".

Václav Šimerka liệt kê bảy số Carmichael đầu tiên

Sáu số Carmichael tiếp theo là :

1105 = 5 ⋅ 13 ⋅ 17 ( 4 ∣ 1104 ; 12 ∣ 1104 ; 16 ∣ 1104 ) {\displaystyle 1105=5\cdot 13\cdot 17\qquad (4\mid 1104;\quad 12\mid 1104;\quad 16\mid 1104)} 1729 = 7 ⋅ 13 ⋅ 19 ( 6 ∣ 1728 ; 12 ∣ 1728 ; 18 ∣ 1728 ) {\displaystyle 1729=7\cdot 13\cdot 19\qquad (6\mid 1728;\quad 12\mid 1728;\quad 18\mid 1728)} 2465 = 5 ⋅ 17 ⋅ 29 ( 4 ∣ 2464 ; 16 ∣ 2464 ; 28 ∣ 2464 ) {\displaystyle 2465=5\cdot 17\cdot 29\qquad (4\mid 2464;\quad 16\mid 2464;\quad 28\mid 2464)} 2821 = 7 ⋅ 13 ⋅ 31 ( 6 ∣ 2820 ; 12 ∣ 2820 ; 30 ∣ 2820 ) {\displaystyle 2821=7\cdot 13\cdot 31\qquad (6\mid 2820;\quad 12\mid 2820;\quad 30\mid 2820)} 6601 = 7 ⋅ 23 ⋅ 41 ( 6 ∣ 6600 ; 22 ∣ 6600 ; 40 ∣ 6600 ) {\displaystyle 6601=7\cdot 23\cdot 41\qquad (6\mid 6600;\quad 22\mid 6600;\quad 40\mid 6600)} 8911 = 7 ⋅ 19 ⋅ 67 ( 6 ∣ 8910 ; 18 ∣ 8910 ; 66 ∣ 8910 ) . {\displaystyle 8911=7\cdot 19\cdot 67\qquad (6\mid 8910;\quad 18\mid 8910;\quad 66\mid 8910).}

Bảy số Carmichael đầu tiên này, từ 561 đến 8911, đều do nhà toán học người Séc Václav Šimerka (de; cs) tìm ra vào năm 1885 [6] (trước đó không chỉ Carmichael mà còn cả Korselt, mặc dù Šimerka không tìm thấy bất cứ điều gì giống như tiêu chí của Korselt). [7] Tuy nhiên các phát hiện của ông không được chú ý.

J. Chernick [8] đã chứng minh một định lý vào năm 1939 có thể được sử dụng để xây dựng một tập con các số Carmichael. Con số ( 6 k + 1 ) ( 12 k + 1 ) ( 18 k + 1 ) {\displaystyle (6k+1)(12k+1)(18k+1)} là một số Carmichael nếu ba phần tử của nó đều là số nguyên tố. Liệu công thức này có tạo ra số lượng Carmichael vô hạn hay không là một câu hỏi mở (mặc dù nó được ngụ ý bởi phỏng đoán của Dickson ).

Paul Erds lập luận rằng có vô số con số Carmichael. Năm 1994 WR (Đỏ) Alford, Andrew Granville và Carl Pomerance sử dụng một giới hạn trên hằng số Olson để chỉ ra rằng thực sự tồn tại vô số số Carmichael. Cụ thể, họ đã cho thấy với số n {\displaystyle n} đủ lớn, Có ít nhất n 2 / 7 {\displaystyle n^{2/7}} Carmichael số từ 1 đến n . {\displaystyle n.} [9]

Thomas Wright đã chứng minh rằng nếu a {\displaystyle a} và m {\displaystyle m} nguyên tố cùng nhau, thì có vô hạn số Carmichael có dạng a + k ⋅ m {\displaystyle a+k\cdot m} , khi k = 1 , 2 , … {\displaystyle k=1,2,\ldots } . [10]

Löh và Niebuhr năm 1992 đã tìm thấy một số Carmichael rất lớn, bao gồm một số có 1.101.518 thừa số và hơn 16 triệu chữ số. Điều này đã được thay đổi thành 10,333,229,505 thừa số nguyên tố và 295,486,761,787 chữ số, [11] vì vậy số Carmichael lớn nhất đã biết lớn hơn nhiều so với số nguyên tố lớn nhất đã biết .